テーマ『過不足の問題』
まずは、次の４つの問題を解いてみてください。簡単なようで「あれ？」っと思う部分があると思います。
問題１
何人かの子どもにみかんを配るのに、5個ずつ配ると5個足りない。また、4個ずつ配ると2個余る。子どもの人数をX (人)として「5X－5＝4X+2」という式は正しいか？ 〇か×で答えよ。
問題２
何人かの子どもからみかんを集めるのに、1人から5個ずつ集めると5個足りない。また、4個ずつ集めると2個余る。子どもの人数をX (人)として「5X－5＝4X+2」という式は正しいか？ 〇か×で答えよ。
問題３
何人かの子どもからみかんを集めるのに、1人から5個ずつ集めると10個足りない。また、６個ずつ集めると20個余る。子どもの人数をX (人)として「5X+10＝6X－20」という式は正しいか？ 〇か×で答えよ。
問題４
何人かの子どもにみかんを配るのに、5個ずつ配ると10個足りない。また、６個ずつ配ると20個余る。子どもの人数をX (人)として「5X+10＝6X－20」という式は正しいか？ 〇か×で答えよ。
どうでしたか？ 意外と難しかったのではないでしょうか。数学というより読解問題ですよね。「複雑な文章をいかに整理して考えるか？」という論理の問題と言えるかもしれません。そこに文章題の難しさがあります。複雑な論理を読み解くには、やはり図を書いてみるというのが重要です。
答 問題１：〇 問題２：× 問題３：〇 問題４：×
1次方程式の文章題
1次方程式はすべての文章題の土台になります。１次方程式が理解できれば「連立方程式の文章題」も解けることになるので、少し立ち止まって考えてほしい分野です。この分野は「なんとなくわからない…」という思いを誰しも一度は経験しているはずです。その理由は、文章の論理を見抜く点に難しさがあるからです。同じ表現なのにプラス（＋）になったりマイナス（－）になったりしますよね。その代表的なものが「過不足の問題」です。今回はそこにフォーカスして考えていこうと思います。
【1次方程式の解き方】
①図を書く
→ どんな問題でも一度は図を書いて考えてみよう
②問題文の中で「何が等しくなるか？」を見つける
→ 等しくなるものは１つではない（例えば「子どもの人数」や「みかんの個数」など）
③何を(未知数)Ｘにするか決める
→ 式が立てやすい方の条件を考え、未知数をXにする
④等式をつくる
→ 何と何が等しいかを整理して立式する
⑤計算する
問題５ 何人かの子どもにみかんを配るのに、5個ずつ配ると5個足りない。また、4個ずつ配ると2個余る。子どもの人数と集めたみかんの総数を求めよ。
- 問題５の解説
まずは図を書いてみましょう
子どもの人数をX (人)として
（みかんの総数）＝（みかんの総数）
５Ｘ－５＝４Ｘ＋２
X＝７
みかんの個数：５×７ー５＝30
答 子どもの人数：7人 , みかんの数：30個
- 問題５の別解
みかんの個数をX (個)として
（子どもの人数）＝（子どもの人数）
(Ｘ＋５)/５＝(Ｘー２)/４
4(Ｘ＋５)＝5(X－２)
4X+20＝5X－10
X＝30 (個)
子どもの人数：(30＋5)/5=7
答 子どもの人数：7人 , みかんの数：30個
問題６ 何人かの子どもからみかんを集めるのに、１人から5個ずつ集めると10個足りない。また、6個ずつ集めると20個余る。子どもの人数と集めたみかんの総数を求めよ。
- 誤答 子どもの人数をXとして
５X－10＝６X＋20
X=－30？？
子どもの人数がマイナスというのはおかしいですよね。「どこが」「どのように」おかしいのでしょうか？
- 問題６の解説
何人かの子どもからみかんを集めるのに、1人から5個ずつ集めると10個足りない。また、6個ずつ集めると20個余る。子どもの人数と集めたみかんの総数を求めよ。
図を書いてみましょう
みかんの総数をＸ (個) として
（子どもの人数）＝（子どもの人数）
(Ｘ－10)/５＝(Ｘ＋20)/６
６(Ｘ－10)＝５(Ｘ＋20)
6X－60＝5X＋100
Ｘ＝160 (個)
みかんの総数は160個なので、
子どもの人数 (160－10)/5＝150/5＝30
答 子どもの人数：30人 , みかんの数：160個
- 問題６の別解
子どもの人数をＸ (人) として
（みかんの個数）＝（みかんの個数）
5X＋10＝6X－2
Ｘ＝12 (人)
みかんの総数は160個なので、
子どもの人数 (160－10)/5＝150/5＝30
答 子どもの人数：30人 , みかんの数：160個
文章題では「”何が等しいか”を見つけること」と「何を(未知数)Xにするか」が重要です。１次方程式の文章には比較されている２つの条件があります。文章を読んだら、考えやすい方の条件が使えるように未知数Xを決めるようにしましょう。問題６のように、文章がやや複雑な場合は、問われている値をそのままXにしない方がよい場合もあります。また、等式をつくる際に等しいものは１つとは限りません。だから「どちらの等式を考えた方がよいか」が重要で、そのためには「どちらを未知数Xにするか」を整理する必要が出てきます。それが判断できれば、どちらをXにしても正しい式が導けるということが理解できるはずです。そうなれば、どのような問題でも立式できるようになっていくと思います。
【練習問題】
問題７ クラスの生徒にりんごを配るのに、１人に４個ずつ配ると５個足りず、1人に3個ずつ配ると12個余る。生徒の人数とりんごの個数をそれぞれ求めよ。
解答）
生徒の人数をX(人)として
（りんごの総数）＝（りんごの総数）
４X－５＝３X＋12
X＝17 (人)
りんごの個数は
４×17－５＝68－5＝63
答 生徒数：17人，りんごの個数：個63
問題８ クラス会で長イスを何脚か並べた。生徒が１脚に5人ずつ座ると10人座れず、6人ずつ座ると2人だけ座った長イスが１脚できた。並べた長イスは何脚か求めよ。
解答）
*6人ずつ座ると2人だけ座った長イスが１脚できたので、（6人ずつ座ると）4人座れない
生徒の人数の条件が２つあるので
生徒数をX(人)として
（長イスの総数）＝（長イスの総数）
（Ｘ－10）/５＝（Ｘ＋4）/６
６(Ｘ－10)＝５(Ｘ＋4)
6X－60＝5X＋20
Ｘ＝80 (人)
長イスの総数 (80－10)/5＝14（脚）
答 長イス：14脚
問題９ クラス会の費用を集めるのに、生徒1人から400円ずつ集めると1000円足りず、500円ずつ集めると2500円余る。このとき、生徒の人数とクラス会の費用をそれぞれ求めよ。
解答）
費用の条件が２つあるので
費用をX(円)として
（生徒の人数）＝（生徒の人数）
(Ｘ－1000)/400＝(Ｘ＋2500)/500
500(Ｘ－1000)＝400(Ｘ＋2500)
5(Ｘ－1000)＝4(Ｘ＋2500)
5X－5000＝４X＋10000
Ｘ＝15000 (円)
生徒の人数は
(15000－1000)/400＝14000/400＝35（人）
答 生徒の人数：35人，クラス会の費用：15000円